单选题已知β(→)1β(→)2是非齐次方程组AX(→)=b(→)的两个不同的解,α(→)1α(→)2是其对应的齐次线性方程组的基础解系,k1、k2是任意常数,则方程组AX(→)=b(→)的通解必是(  )。A k1α(→)1+k2(α(→)1+α(→)2)+(β(→)1-β(→)2)/2B k1α(→)1+k2(α(→)1-α(→)2)+(β(→)1+β(→)2)/2C k1α(→)1+k2(β(→)1+β(→)2)+(β(→)1-β(→)2)/2D k1α(→)1+k2(β(→)1-β(→)2)+(β(

题目
单选题
已知β(→)1β(→)2是非齐次方程组AX(→)=b(→)的两个不同的解,α(→)1α(→)2是其对应的齐次线性方程组的基础解系,k1、k2是任意常数,则方程组AX(→)=b(→)的通解必是(  )。
A

k1α()1+k2α()1α()2)+(β()1β()2)/2

B

k1α()1+k2α()1α()2)+(β()1β()2)/2

C

k1α()1+k2β()1β()2)+(β()1β()2)/2

D

k1α()1+k2β()1β()2)+(β()1β()2)/2

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第1题:

设α1,α2是非齐次线性方程组Ax=b的解.则A(5α2-4α1)=_________.


正确答案:
b

第2题:

向量组α1,α2,…,αm(m≥2)线性相关的充要条件是( )。

A、α1,α2,…,αm中至少有一个零向量
B、α1,α2,…,αm中至少有两个向量成比例
C、存在不全为零的常数k1,k2,…,km,使k1α1+k2α2+…+kmαm=0
D、α1,α2,…,αm中每个向量都能由其余向量线性表示

答案:C
解析:
由向量组线性相关的理论,(A)、(B)、(D)不正确,而(C)是线性相关的定义,也是充分必要条件

第3题:

设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是()

A、η1+η2是Ax=0的一个解

B、(1/2)η1+(1/2)η2是Ax=b的一个解

C、η1-η2是Ax=0的一个解

D、2η1-η2是Ax=b的一个解


参考答案:A

第4题:

已知4元非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩等于3,且η1,η2,η3是3个不同的解向量,则通解是( ).

A.x=k1(η-η2)+η3
B.x=k1η1+k2η2+η3
C.x=k1η1+k2η2+k3η3
D.x=k1(η+η2)+η3

答案:A
解析:
由n=4,r=3得s=1。ηη2是 Ax=0的基础解系

第5题:

设β1,β2是线性方程组Ax=b的两个不同的解,α1、α2是导出组Ax=0的基础解系,k1,k2是任意常数,则Ax=b的通解是:


答案:C
解析:

第6题:

设λ1,λ2是矩阵A 的2 个不同的特征值,ξ,η 是A 的分别属于λ1,λ2的特征向量,
则以下选项中正确的是:
(A)对任意的k1≠ 0和k2 ≠0,k1 ξ+k2η 都是A 的特征向量
(B)存在常数k1≠ 0和k2≠0,使得k1ξ+k2η 是A 的特征向量
(C)存在任意的k1≠ 0和k2≠ 0, k1ξ+ k2η 都不是A 的特征向量
(D)仅当k1=k2=时, k1ξ+k2 η 是A 的特征向量


答案:C
解析:
解:选C。
特征向量必须是非零向量,所以选项(D)错误。
由于“对应于不同特征值的特征向量必定线性无关”,因此ξ,η 线性无关,即k1ξ+k2η = 0
仅当k1=k2=时才成立。

第7题:

设β1,β2是线性方程组Ax=b的两个不同的解,a1、a2是导出组Ax=0的基础解系,k1、k2是任意常数,则Ax=b的通解是:


答案:C
解析:
提示 非齐次方程组的通解y=y(齐次方程的通解)+y *(非齐次方程的一个特解),可验证(1/2)(β1+β2)是Ax=b的一个特解。
因为β1,β2是线性方程组Ax=6的两个不同的解
A[(1/2)(β1+β2)]=(1/2)Aβ1+(1/2)Aβ2
又已知a1,a2为导出组Ax=0的基础解系,可知a1,a2是Ax=0解,同样可验证a1-a2也是Ax=0的解,A(a1-a2)=Aa1-Aa2=0。
还可验证a1,a1-a2线性无关
故齐次方程组的通解y=k1a1+k2(a1-a2)
y*=(1/2)(β1+β2)=是Ax=b的一特解
所以Ax=b的通解为y=(1/2)(β1+β2)+k1a1+k2(a1-a2)

第8题:

已知下列反应的平衡常数:(1)A=B;K1θq(2)B+C=D;K2θq则反应:A+C=D的平衡常数是下列中的()

A、(K1θqK2θ)2

B、K1θqK2θ

C、K2θq/K1θ

D、K1θq/K2θ


参考答案:B

第9题:

设A是4×5矩阵,ξ1,ξ2是齐次线性方程组Ax=0的基础解系,则下列结论正确的是( ).

A.ξ1-ξ2,ξ1+2ξ2也是Ax=0的基础解系
B.k1ξ1+k1ξ2是Ax=0的通解
C.k1ξ1+ξ2是Ax=0的通解
D.ξ1-ξ2,ξ2-ξ1也是Ax=0的基础解系

答案:A
解析:
由题设知道,n=5,s=n-r=2,r=3.B不正确,因为k1ξ1+k1ξ2=k1(ξ2+ξ1)只含有一个不定常数,同样理由说明C也不正确.D不正确,因为(ξ1-ξ2)+(ξ1+ξ2)=0,这表明ξ1-ξ2与ξ2-ξ1线性相关.A正确,因为ξ1-ξ2与ξ1+2ξ2都是Ax=0的解,且它 们线性无关,故选A.

第10题:

设λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,ξ、η是a的分别属于λ1、λ2的特征向量,则以下选项正确的是()。

  • A、对任意的k1≠0和k2≠0,k1ξ+k2η都是A的特征向量
  • B、存在常数k1≠0和k2≠0,使得k1ξ+k2η是A的特征向量
  • C、对任意的k1≠0和k2≠0,k1ξ+k2η都不是A的特征向量
  • D、仅当k1=k2=0时,k1ξ+k2η是A的特征向量

正确答案:C

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