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问答题已知m个向量α(→)1，α(→)2，…，α(→)m线性相关，但其中任意m－1个都线性无关，证明：　　（1）如果存在等式k1α(→)1＋…＋kmα(→)m＝0(→)，则这些系数k1，…，km或者全为零，或者全不为零。　　（2）如果存在两个等式k1α(→)1＋…＋kmα(→)m＝0(→)，l1α(→)1＋…＋lmα(→)m＝0(→)，其中l1≠0，则k1/l1＝k2/l2＝…＝km/lm。

题目
问答题
已知m个向量α(→)1，α(→)2，…，α(→)m线性相关，但其中任意m－1个都线性无关，证明：　　（1）如果存在等式k1α(→)1＋…＋kmα(→)m＝0(→)，则这些系数k1，…，km或者全为零，或者全不为零。　　（2）如果存在两个等式k1α(→)1＋…＋kmα(→)m＝0(→)，l1α(→)1＋…＋lmα(→)m＝0(→)，其中l1≠0，则k1/l1＝k2/l2＝…＝km/lm。
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第1题：

已知直线L1过点M1(0，0，-1)且平行于X轴，L2过点M2(0，0，1)且垂直于XOZ平面，则到两直线等距离点的轨迹方程为( )。

A.
B.
C.
D.

答案：D
解析：

第2题：

设λ1，λ2是矩阵A的2个不同的特征值，ξ，η是A的分别属于λ1，λ2的特征向量，则以下选项中正确的是：

A. 对任意的k1≠0和k2≠0，k1ξ+k2η都是A的特征向量
B.存在常数k1≠0和k2≠0，使得k1ξ+k2η是A的特征向量
C.存在任意的k1≠0和k2≠0，k1ξ+k2η都不是A的特征向量
D.仅当k1=0和k2=0，k1ξ+k2η是A的特征向量

答案：C
解析：
提示 特征向量必须是非零向量，选项D错误。 由矩阵的特征值、特征向量关系可知:①当ξ、η是A对应特征值λ的特征向量，当k1≠0，k2≠0时，k1ξ+k2η仍是A对应λ的特征向量。
②如果ξ、η是A对应不同特征值的特征向量，则k1ξ+k2η不是A的特征向量。
所以选项A、B均不成立。

第3题：

如果向量β可由向量组a1,a2,…,as线性表示，则下列结论中正确的是：
A.存在一组不全为零的数k1,k2,…,ks使等式β=k1a1+k2a2+...+ksas成立
B.存在一组全为零的数k1,k2,…,ks使等式β=k1a1+k2a2+...+ksas成立
C.存在一组数k1,k2,…,ks使等式β=k1a1+k2a2+...+ksas成立
D.对β的线性表达式唯一


答案：C
解析：
提示：向量β能由向量组a1,a2,…,as线性表示，仅要求存在一组数k1,k2,…,ks使等式β=k1a1+k2a2+...+ksas成立，而对k1,k2,…,ks是否为零并没有做规定，故选项A、B排除。 若β的线性表达式唯一，则要求a1,a2,…,as线性无关，但题中没有给出该条件，故D也不成立。

第4题：

电流互感器通常一次绕组的端子用字母L1、L2表示，二次绕组端子用字母K1、K2表示，则L1与K1、L2与K2分别为同极性端。


正确答案:正确

第5题：

如果向量可由向β量组a1，a2，…，as线性表示，则下列结论中正确的是：

A.存在一组不全为零的数k1，k2，…，ks使等式β=k1a2+k2a2+…+ksas成立
B.存在一组全为零的数k1，k2，…，ks使等式β=k1a2+k2a2+…+ksas成立
C.存在一组数k1，k2，…，ks使等式=β=k1a2+k2a2+…+ksas成立
D.对β的线性表达式唯一

答案：C
解析：
提示：向量P能由向量组a1，a2，…，as线性表示，仅要求存在一组数k1，k2，…，ks使等式β=k1a2+k2a2+…+ksas必成立，而对k1，k2，…，ks是否为零并没有做规定，故选项A、B 排除。若A的线性表达式唯一，则要求a1，a2，…，as线性无关，但题中没有给出该条件，故D也不成立。

第6题：

向量组α1，α2，…，αm(m≥2)线性相关的充要条件是( )。

A、α1，α2，…，αm中至少有一个零向量
B、α1，α2，…，αm中至少有两个向量成比例
C、存在不全为零的常数k1，k2，…，km，使k1α1+k2α2+…+kmαm=0
D、α1，α2，…，αm中每个向量都能由其余向量线性表示

答案：C
解析：
由向量组线性相关的理论，(A)、(B)、(D)不正确，而(C)是线性相关的定义，也是充分必要条件

第7题：

3维向量组A：a1，a2，…，am线性无关的充分必要条件是( ).

A.对任意一组不全为0的数k1，k2，…，km，都有k1a1+k2a2+…+kmam≠0
B.向量组A中任意两个向量都线性无关
C.向量组A是正交向量组
D.

答案：A
解析：
B与D是向量组线性无关的必要条件，但不是充分条件.C是向量组线性无关的充分条件，但不是必要条件.A是向量组线性无关定义的正确叙述，即不存在一组不全为零的数k1，k2，…，km，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0.故选A.

第8题：

设λ1，λ2是矩阵A 的2 个不同的特征值，ξ，η 是A 的分别属于λ1，λ2的特征向量，
则以下选项中正确的是：
（A）对任意的k1≠ 0和k2 ≠0，k1 ξ+k2η 都是A 的特征向量
（B）存在常数k1≠ 0和k2≠0，使得k1ξ+k2η 是A 的特征向量
（C）存在任意的k1≠ 0和k2≠ 0， k1ξ+ k2η 都不是A 的特征向量
（D）仅当k1=k2=时， k1ξ+k2 η 是A 的特征向量


答案：C
解析：
解：选C。
特征向量必须是非零向量，所以选项（D）错误。
由于“对应于不同特征值的特征向量必定线性无关”，因此ξ，η 线性无关，即k1ξ+k2η = 0
仅当k1=k2=时才成立。

第9题：

有一6m高的均匀土质边坡，γ=17. 5kN/m3，极据最危险滑动圆弧计算得到的抗滑力矩为3580kN.m，滑动力矩为3705kN.m。为提高边坡的稳定性提出图示两种卸荷方案，卸荷土方量相同时卸荷部位不同，试计算卸荷前、卸荷方案1、卸荷方案2的边
坡稳定系数(分別为K0、 K1、K2)判断三者关系为下到哪一选项？（假设卸荷后抗滑力矩不变）

(A) K0=K1=K2 (B) K0＜K1=K2
(C) K0＜K1＜K2 (D)K0＜K2＜K1


答案：C
解析：
【解答】

第10题：

3维向量组A：α1，α2，…，αM线性无关的充分必要条件是（）．

  • A、对任意一组不全为0的数k1，k2，…，kM，都有后
  • B、向量组A中任意两个向量都线性无关
  • C、向量组A是正交向量组
  • D、αM不能由线性表示

正确答案:A

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