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已知A，B均是n阶矩阵，A2=A，B2=B，（A+B）2=A+B，证明AB=0。

题目

已知A，B均是n阶矩阵，A2=A，B2=B，（A+B）2=A+B，证明AB=0。

参考答案和解析
正确答案: 由（A+B.2=A2+AB+BA+B2=A+B+AB+BA=A+B，得AB+BA=0①。对①式分别用A左乘和右乘，并把A2=A代入得AB+ABA=0，ABA+BA=0，两式相减得AB-BA=0②。①+②得2AB=0，所以AB=0。
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相似问题和答案

第1题：

设A,B是正定实对称矩阵，则().

A. AB,A+B一定都是正定实对称矩阵

B. AB是正定实对称矩阵，A+B不是正定实对称矩阵

C. A+B是正定实对称矩阵，AB不一定是正定实对称矩阵

D. AB必不是正定实对称矩阵，A+B必是正定实对称矩阵


参考答案C

第2题：

以下结论中哪一个是正确的？
A.若方阵A的行列式 A =0，则A=0
B.若A2=0，则A=0
C.若A为对称阵，则A2也是对称阵
D.对任意的同阶方阵有(A+B) (A-B) =A2 -B2


答案：C
解析：
提示:利用两矩阵乘积的转置运算法则，(AB)T=BT*AT，得出结论C。计算如下
(A2)T= (AA)T=AT*AT=AA=A2

第3题：

设A,B均为n阶方阵,则()

A、若|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0

B、(A+B)^2=A^2+2AB+B^2

C、当AB=O时，有A=O或B=O

D、(AB)^-1=B^-1A^-1


参考答案：A

第4题：

试证：如果A,B都是n阶正定矩阵，则A+B也是正定的


答案：
解析：

第5题：

设A,B为n阶正定矩阵.证明：A+B为正定矩阵.


答案：
解析：

第6题：

设A、B、C均为n阶矩阵,则下列结论或等式成立的是()。

A、(AB)^2=A^2B^2

B、若AB=AC且A≠0，则B=C

C、((A+B)C)^T=C^T(B^T+A^T)

D、若A≠0且B≠0,则AB≠0


正确答案：C

第7题：

设A是m×s阶矩阵,.B是s×n阶矩阵,且r(B)=r(AB).证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组.


答案：
解析：

第8题：

等效边长的算法正确的是

A、S＝2AB／(A+B)

B、S＝(A+B)／AB

C、S＝AB／2(A+B)

D、S＝AB／(A+B)

E、S＝2(A+B)／AB


参考答案：A

第9题：

设A1，A2分别为m阶，n阶可逆矩阵，分块矩阵.证明：A可逆，且


答案：
解析：

第10题：

设A和B都是mn实矩阵,满足r(A+B)=n,证明正定


答案：
解析：

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