设平面薄板所占xOy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，*≥0，y≥0，其面密度为π(x，y)=x2+y2，求该薄板的质量m。
A.利用物体对称性求重心
B.物体的中心就是重心
1.求曲面xyaz包含在圆柱222ayx内那部分的面积。解 设曲面面积为S。由于.,axyzayxz所以，,)()(122dxdyaxaySD其中 D 为.222ayx应用广义极坐标变换.) 122(32112201022220102adrrrdadrrradS2求锥面22yxz被柱面xz22所截得部分的曲面面积。解 由于曲面在xy 平面上的投影区域为,2|),(22xyxyxD且.,2222yxyyzyxxxz设曲面面积为S，则.22)()(122DDdxdydxdyyzxzS3求下列均匀密度的平面薄板重心：(1) 半椭圆;0, 12222ybyax(2) 高为 h，底分别为a和b的等腰梯形 . 解: (1)设重心位置在),(yx,由对称性0 x,现求y. DDDydxdyabdxdyydxdyy2drrabdabsin22102034b. (2)设等腰梯形在直角坐标系中位置如图,其重心位置为),(yx,对称性0 xDDDydxdyhbadxdyydxdyy)(2hyLyLdxydyhba0)()(1211)(2=hydyahyhbahba0)()(2=hbaab)(32其中.)2(2:)(,)2(2:)(21haxbahyxLhaxabhyxL4.求下列均为密度物体的重心: (1)221yxz,0z; (2)由坐标面及平面12zyx所围成的四面体. 解: (1)设物体重心为),(zyx.由对称性知 : 0yx,现求zVVdxdydzzdxdydzz3122101020101020rrdzrdrdzdzrdrd(应用柱面坐标变换). (3) 设四面体的重心坐标为),(zyx,由于物体密度均匀,且121VdxdydzV. 因此VxdxdydzVx101221010411yxxdzdyxdxVVydxdydzVy101221010811yxxdzydydxV411VzdxdydzVz. 5.求下列均匀密度的平面薄板的转动惯量: (1) 半径为 R 的圆关于其切线的转动惯量; (2) 边长为a和b,且夹角为的平行四边形 ,关于底边b的转动惯量 . 解: (1)设切线为Rx,其密度为0,对任一点DyxP),(,P到Rx的距离为xR. 从而dxdyxRJD20)(40022220045)coscos2(RdrrRrRrdR. (2)设密度为0.于是dxdyyJDx20cotcotsin020ybyadxdyy330sin31ba. 6.计算下列引力: (1)均匀薄片Ryx22,0z对于轴上一点),0, 0(c)0(c处的单位质量的引力; (2)均匀柱体222ayx,hz0对于点),0, 0(cP)(hc处的单位质量的引力; (3)均匀密度的正圆锥体(高h,底半径R)对于在它的顶点处质量为m的质点的引力解： （1）由对称性，引力必在z轴方向上，因此0 xF，0yF，且dxdyzyxckFRyxx22223222)(drcrrdckR0232220)(1222cRck. 故,0 ,0ZFF. (2)设物体密度为,由对称性0 xF，0yF,下求zF. dxdydzczyxczkFVx23222)(dzczrczdrrdkha0322020)(khchaca)(22222故,0 ,0ZFF,其中k为引力系数 . (3) 设锥体密度为,圆锥体为zhRRyx22,顶点坐标为),0 ,0(h,显然有，0yxFF,现计算zFdvhzyxhzmkFVz23222)(Dhhzyxdxdydzhzmk232220)()(其中),(22zhRRyxyxD, 用柱坐标计算: zFzhRRhdrhzrrddzhzmk02322200)()(dzhRhkmh022)1(22222)(2hRhhRhkm. 故)(2,0 ,02222hRhhRhkmF,其中k为引力系数 . 7.求曲面sinsin)cos(cos)cos(azabyabx, 2020的面积 ,其中常数a,b满足ba0. 解:由于2222azyxE, 0zzyyxxF, 2222)cos(abzxyG所以曲面面积为ddFEGSS2ddabaS)cos(2020)cos(dabda24ab8.求螺旋面bzryrxsincos200ar的面积 . 解:由于1222rrrzyxE, 0zzyyxxFrrr, 22222brzyxG所以曲面面积为dbrdrdFEGdrSaa020220202ln22222bbaabbaa. 9.求边长为密度均匀的立方体关于其任一棱边的转动惯量. 解:如图 ,求zJ设密度为, 则dxdydzyxJVz)(2250220032)(adzyxdydxaaa.
