复变函数14套题目和答案 复变函数论试题库 复变函数考试试题（一） 一、判断题（20分）： 1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若收敛，则与都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D内解析，且，则（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z0是的m阶零点，则z0是1/的m阶极点. ( ) 7.若存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则. ( ) 9.若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C.( ) 10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1._.（为自然数） 2._.3.函数的周期为_.4.设，则的孤立奇点有_.5.幂级数的收敛半径为_.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是_.7.若，则_.8._，其中n为自然数.9.的孤立奇点为_ .10.若是的极点，则.三.计算题（40分）： 1.设，求在内的罗朗展式.2. 3. 设，其中，试求 4.求复数的实部与虚部.四.证明题.(20分) 1.函数在区域内解析.证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.2.试证: 在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在的值. 复变函数考试试题（二） 1、判断题.（20分） 1. 若函数在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.( ) 2. cos z与sin z在复平面内有界. ( ) 3. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. ( ) 4. 有界整函数必为常数. ( ) 5. 如z0是函数f(z)的本性奇点，则一定不存在. ( ) 6. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( ) 7.若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C.( ) 8. 若数列收敛，则与都收敛. ( ) 9. 若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析. ( ) 10.存在一个在零点解析的函数f(z)使且.( ) 二. 填空题.(20分) 1.设，则 2.设，则_.3._.（为自然数） 4. 幂级数的收敛半径为_ .5. 若z0是f(z)的m阶零点且m0，则z0是的_零点.6. 函数ez的周期为_. 7. 方程在单位圆内的零点个数为_.8. 设，则的孤立奇点有_.9. 函数的不解析点之集为_.10.三.计算题.(40分) 1. 求函数的幂级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.3. 计算积分：，积分路径为（1）单位圆（）的右半圆.4.求 .四.证明题.(20分) 1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是在D内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.复变函数考试试题（三） 一.判断题.(20分).1. cos z与sin z的周期均为. ( ) 2. 若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件, 则f(z)在z0解析. ( ) 3. 若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0连续. ( ) 4. 若数列收敛，则与都收敛. ( ) 5. 若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区域D内为常数. ( ) 6. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导. ( ) 7. 如果函数f(z)在上解析,且,则 . （ ） 8. 若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若z0是的m阶零点, 则z0是1/的m阶极点. ( ) 10.若是的可去奇点，则. ( ) 二.填空题.(20分) 1. 设，则f(z)的定义域为_.2. 函数ez的周期为_.3. 若，则_.4. _.5. _.（为自然数） 6. 幂级数的收敛半径为_.7. 设，则f(z)的孤立奇点有_.8. 设，则.9. 若是的极点，则.10.三.计算题.(40分) 1. 将函数在圆环域内展为Laurent级数.2. 试求幂级数的收敛半径.3. 算下列积分：，其中是. 4. 求在|z|1内根的个数.四. 证明题.(20分) 1. 函数在区域内解析.证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.2. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当时 ， 证明是一个至多n次的多项式或一常数。 复变函数考试试题（四） 一. 判断题.(20分) 1. 若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件. （ ） 2. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. （ ） 3. 函数与在整个复平面内有界. （ ） 4.若f(z)在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有.（ ） 5.若存在且有限，则z0是函数的可去奇点. （ ） 6. 若函数f(z)在区域D内解析且，则f(z)在D内恒为常数. （ ） 7. 如果z0是f(z)的本性奇点，则一定不存在. （ ） 8. 若，则为的n阶零点. （ ） 9.若与在内解析，且在内一小弧段上相等，则. （ ） 10.若在内解析，则 . （ ） 二.填空题.(20分) 1.设，则.2. 若，则_.3. 函数ez的周期为_.4. 函数的幂级数展开式为_ 5. 若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是_.6. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_.7. 设，则.8. 的孤立奇点为_.9. 若是的极点，则.10. _.三. 计算题.(40分) 1.解方程. 2. 设，求 3. . 4. 函数有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.四.证明题.(20分) 一.证明：若函数在上半平面解析，则函数在下半平面解析.2. 证明方程在内仅有3个根.复变函数考试试题（五） 二.判断题.（20分） 1. 若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数.