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设A与B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵.

题目
设A与B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵.

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第1题：

n阶正交矩阵的乘积是()矩阵。

A、单位

B、对称

C、实

D、正交


参考答案：D

第2题：

设

A、B都是n阶可逆矩阵，则

答案：D
解析：

第3题：

两个行列式相等的正交矩阵的乘积也是正交矩阵。()

此题为判断题(对，错)。


参考答案：错

第4题：

设A为n阶实对称矩阵,下列结论不正确的是().

A.矩阵A与单位矩阵E合同
B.矩阵A的特征值都是实数
C.存在可逆矩阵P,使P^-1AP为对角阵
D.存在正交阵Q,使Q^TAQ为对角阵

答案：A
解析：
根据实对称矩阵的性质，显然(B)、(C)、(D)都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以A不一定与单位矩阵合同，选(A).

第5题：

设A为m×n阶矩阵,B为n×m阶矩阵,且m>n,令r(AB)=r,则().

A.r>m
B.r=m
C.rD.r≥m

答案：C
解析：
显然AB为m阶矩阵，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤n小于m，所以选(C).

第6题：

设A,B均为n阶可逆矩阵,求证:(AB)*=B*A*。


参考答案：证明:因为A,B可逆,故A^-1,B^-1存在,AB可逆,
且有A*=|A|A^-1,B*=|B|B^-1.
故(AB)*=|AB|(AB)^-1
=|A||B|B^-1A^-1
=(|B|B^-1)(|A|A^-1)
=B*A*

第7题：

设n阶矩阵A与对角矩阵相似,则().

A.A的n个特征值都是单值
B.A是可逆矩阵
C.A存在n个线性无关的特征向量
D.A一定为n阶实对称矩阵

答案：C
解析：
矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是其有n个线性无关的特征向量，A有n个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样A是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选(C).

第8题：

A,B为n阶矩阵,cond(AB)<=cond(A)cond(B)。()

A,B为n阶矩阵,cond(AB)<=cond(A)cond(B)。()


参考答案：正确

第9题：

设N阶矩阵A与对角矩阵合同,则A是().

A.可逆矩阵
B.实对称矩阵
C.正定矩阵
D.正交矩阵

答案：B
解析：

第10题：

设A、B都是n阶可逆矩阵，且(AB)2=I，则(BA)2的值为( )。



答案：A
解析：
已知(AB)2=I，即ABAB=I，说明矩阵A可逆，且A-1=BAB，用A右乘上式两端即可得解

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