设A为m×n阶实矩阵,且r(A)=n.证明：A^TA的特征值全大于零.

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第1题：

设A为m×n阶矩阵,B为n×m阶矩阵,且m>n,令r(AB)=r,则().

A.r>m
B.r=m
C.rD.r≥m

答案：C

解析：

显然AB为m阶矩阵，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤n小于m，所以选(C).

第2题：

设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，且AB=E,其中E为m阶单位矩阵，则（）

A.r(A)=r(B)=m
B.r(A)=m r(B)=n
C.r(A)=n r(B)=m
D.r(A)=r(B)=n

答案：A

解析：

第3题：

设A是m×n实矩阵，若r（ATA）=5，则r（A）=_________.

正确答案：
5

第4题：

设A=

,B为三阶非零矩阵,且AB=O,则r(A)=_______.

答案：1、2

解析：

因为AB=0，所以r(A)+r(B)≤3，又因为B≠0，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2.

第5题：

设A为n阶矩阵,证明：r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α,β使得A=αβT.

答案：

解析：

第6题：

设A为m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r1，矩阵B=AC的秩为r，则

答案：C

解析：

第7题：

设A是n阶矩阵，且Ak=O(k为正整数)，则( )。

A.A一定是零矩阵
B.A有不为0的特征值
C.A的特征值全为0
D.A有n个线性无关的特征向量

答案：C

解析：

第8题：

设A,B为N阶矩阵,且A,B的特征值相同,则().

A.A,B相似于同一个对角矩阵
B.存在正交阵Q,使得Q^TAQ=B
C.r(A)=r(B)
D.以上都不对

答案：D

解析：

第9题：

设A,B为n阶矩阵.
　　(1)是否有AB～BA；(2)若A有特征值1,2,…,n,证明：AB～BA.

答案：

解析：

第10题：

设A1，A2分别为m阶，n阶可逆矩阵，分块矩阵

.证明：A可逆，且

答案：

解析：

设A为m×n阶实矩阵,且r(A)=n.证明：A^TA的特征值全大于零.

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