某老师在设计“函数单调性”一节的教学设计时，教学目标之一为“理解函数单调性概念”。请问这样设计是否合适？理由是什么？如果不合适，请你给予改进。

本题主要考查函数单调性的知识，考生对中学课程内容的掌握以及考生的教学设计能力。

本题主要考查函数增减性概念的教学设计。

开展概念教学的原则：抓住问题本质，注重知识发展过程，突出核心内容，问题引导教学。1、结合教材中的“思考”、“探究”问题，重新设计围绕核心内容的课堂教学问题。2、用问题引导教学，使教学不拘泥于教材的细枝末节，而是围绕核心内容的问题展开，让教学成为围绕问题进行思考，讨论和解决的过程。

⑴创设问题情境，在体验数学概念产生的过程中引入概念

数学概念的引入，应从实际出发，创设情景，提出问题。通过与概念有明显联系、直观性强的例子，使学生在对具体问题的体验中感知概念，形成感性认识，通过对一定数量感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性，进而转化为数学模型。

（2）概念的辨析：深入探究、剖析概念

概念中有哪些规定和限制的条件，它们与以前的什么知识有联系；概念的名称、表述的语言有何特点；概念有没有等价的叙述。在概念教学中重要的字、词就是一个条件，应多角度、多层次地剖析概念，才有利于学生深刻地理解概念。

（3）概念的应用：例题示范、应用概念

学生应用概念自主完成本节课的典型例题，小组内展示、交流、讨论，修正错误，优化解题方法，完善解题步骤，并各自整理出来。教师说明要注意的问题，规范解题步骤和书写格式。

(1)问题引入：求方程3x2+6x-l=0的实数根。
变式：解方程氩3x5+6x-l=0的实数根。(一次、二次、三次、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程不能用公式求解。大家课后去阅读本节后的“阅读与思考”。还有如lnx+2x-6=0的实数根很难下手，我们寻求新的角度——函数来解决这个方程的问题。)
设计意图：从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进一步的探究。通过简单的引导，让学生课后自己阅读相关内容，培养他的自学能力和更广泛的兴趣。开门见山的提出函数思想解决方程根的问题。点明本节课的目标。
(2)问题①：求方程x2-2x-3=0的实数根，并画出函数y= x2-2x-3的图象；
问题②：观察形式上函数y= x2-2x-3与相应方程x2-2x-3=0的联系。
问题③：由于形式上的联系，则方程x2-2x-3=0的实数根在函数y= x2-2x-3的图象中如何体现
设计意图：以学生熟悉二次函数图象和二次方程为平台，观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根与函数图象之间的关系。理解零点是连接函数与方程的结点。
(4)教学重点：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断。
(5)教学难点：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点。
(6)本节课是在学生学习了《基本初等函数(I)》的基础上，学习函数与方程的第一课时，本节课中通过对二次函数图象的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步探索函数零点存在性的判定。这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节《用二分法求方程的近似解》做准备。

(1)实例l：
我们在小学学过反比例关系，例如：当路程|s一定时，时间t与速度口成反比例即vt=S(S是常数)；当矩形

(设计意图：由于学生第一次接触反比例函数，无法推测出它的大致图象，取点描图有助于学生深刻的了解反函数图象。)
(2)教学重点：结合图象分析总结出反比例函数的性质：
(3)教学难点：描点画出反比例函数的图象。
(4)教学导人：
①引出反比例函数的概念：

如上例，当路程S是常数时，时间T就是v的反比例函数。当矩形面积．S是常数时，长a是宽b的反比例函数。
在现实生活中，也有许多反比例关系的例子。可以组织学生进行讨论。

②观察图象，归纳、总结出反比例函数的性质
前面学习了三类基本的初等函数，有了一定的基础，这里可视学生的程度或展开全面的讨论，或在老师的引导下完成知识的学习。
显示这两个函数的图象，提出问题：你能从图象上发现有关反比例函数的什么性质呢 并能从解析式或列表中得到论证。
(5)小结：
本节课我们学习了反比例函数的概念及其图象的性质，大家展开了充分的讨论，对函数的概念、函数的图象的性质有了进一步的认识。数学学习要求我们要深刻地理解，找出事物间的普遍联系和发展规律，能数学地发现问题，并能运用已有的数学知识，给以一定的解释。即数学是世界的一个部分，同时又隐藏在世界中。

(1)实例一：自由落体运动
(3)高中函数概念与初中概念相比更具有一般性。实际上，高中的函数概念与初中的函数概念本质上是一 致的。不同点在于，表述方式不同——高中明确了集合、对应的方法。初中虽然没有明确定义域、值域这些集合，但这是客观存在的，也已经渗透了集合与对应的观点。与初中相比，高中引入了抽象的符号f(x)。f(x)指集合B中与x对应的那个数。当x确定时，f(x)也唯一确定。另外，初中并没有明确函数值域这个概念。
教学重点：在研究已有函数实例的过程中，感受在两个数集A，日之间所存在的对应关系厂，进而用集合、对应的语言刻画这一关系，获得函数概念。然后再进一步理解它。
教学难点：对抽象符号y=f(x)的理解。
教学重难点设置理由：函数是中学数学的核心概念，而函数概念的核心是“对应”，正确理解函数的概念是基础。从具体到抽象才符合学生在学习的过程中从感知到理解，从表象到概念的认识规律。抽象符号在数学中广泛使用，因此对于它的理解是难点也是重点。

一、教学分析
三角函数的积化和差与和差化积这两种转化，对于求三角函数值、化简三角函数式以及三角函数式的恒等变换。都有一定作用。在已学过的两角和、两角差的三角函数公式的基础上推导出三角函数的积化和差与和差化积公式较简单，可引导学生自己导出三角函数的积化和差公式。
1．教学目标
(1)知识目标：了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行和、积互化。
(2)能力目标：能应用公式进行三角函数的求值、化简、证明。
(3)情感目标：通过公式的推导和应用培养学生严谨规范的思维品质和辩证唯物主义观点。2．教学重点、难点
本节重点是公式的推导和应用：难点是公式的灵活应用。
二、教学过程设计
1．复习引入
教学内容：复习两角和与差的正弦、余弦公式。
师生互动：让学生将两角和与差的正弦、余弦公式写出来。
(设计意图：复习旧知识，同时为推导积化和差公式作准备。)
2．积化和差公式的推导
教学内容：推导积化和差公式。
师生互动：
教师：考查写出来的两角和与差的正弦、余弦这四个公式，你能否用sin(α+β)，COS(α+β)，sin(α-β)，cos(α-β)来表示cosαcosβ，sinαsinβ，sinαcosβ，cosαsinβ
学生：两边分别相加和相减除以2可以得到。
教师：这组公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算。
(设计意图：培养学生运用已有知识分析问题和问题探究的能力，同时也使学生认识到了新公式产生的根源。)
3．积化和差公式的应用
教学内容：例题练习。
师生互动：学生做练习题教师巡视检查。
(设计意图：让学生初步学会应用公式。)
4．和差化积公式的推导
教学内容：推导和差化积公式。
师生互动：
教师：从上面的积化和差公式变形可以得到新的公式。左边是和差的形式，右边是积的形式，设α＋β=x，α-β=Y，请同学自己将上面的四个公式加以整理，把α，β用x，y表示出来。学生整理后得到和差化积公式。
教师：下面同学们讨论一下如何运用向量的知识来推导和差化积的公式。
组织学生讨论。
教师：这组公式称为和差化积公式，其特点是同名的正(余)弦才能使用，它与积化和差相辅相成，配合使用。
(设计意图：引导学生由积化和差公式推导和差化积公式，在推导过程中运用了代换法进行角的转化。通过组织学生讨论探究，逐步培养学生团结协作的思想品质，提高学生综合运用知识思考问题解决问题的能力。)
5．和差化积公式的应用
教学内容：例题练习 ．
师生互动：利用和差化积这四个公式和其他三角函数关系式，我们可以把某些三角函数的和差化成积的形式。教师指导学生练习．并检查学生做的情况。在解题过程中注意引导学生思考。
(设计意图：通过例题练习．要让学生明确化积问题对最后结果的要求。对于解题过程的深入探究，有益于启发学生思维，提高学生分析问题和解决问题的能力。)
6．小结
教学内容：从知识、方法两个层面来对本节课的内容进行归纳总结。
师生互动：
(1)本节课重点学习了两组公式，对于公式不要求记住，但要学会运用这些公式进行三角函数和差与积的互化，并能够运用公式解决一些求值、化简和证明问题。
(2)把一个式子化为积的形式是一类重要题型，尤其是要注意其最后结果的形式是否符合题意要求。
(3)在公式的推导过程中我们用到了换元法，要注意该方法在解题中的应用。
(设计意图：让学生明确本节课的重点和要达到的要求。)

(1)严格递增:定义域中任意x1,x2,若x1>x2,有f(x1)>f(x2),则称函数f(x)在定义域上严格单调递增。函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据,在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用(内部);在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用(外部)。
(2)定义法:定义域中任意x1,x2,若x1>x2,有f(x1)>f(x2)(或f(x1)＜f(x2)),则称函数f(x)在定义域上单调递增(或递减)。定义法判断函数单调性比较适应于对定义域内任意两个数x1,x2,当x1>x2,容易得出f(x1)与f(x2)大小关系的函数。在解决问题时,定义法是最直接的方法,这种方法思路比较清晰,但是对一些不太容易判断出f(x1)-f(x2)正负的情况,用定义法解析比较麻烦。
导数法:一般先确定函数的定义域,求出原函数的导数f'(x),若导数f'(x)>0,则函数在定义域内单调递增,反之则单调递减。导数法适用于函数在其定义域内可导且能判断导函数与零的大小关系的情形,针对定义法解决不了的题型,或者用定义法解题相对比较繁琐,用导数法解题可能会比较简单。导数法提供了一种重要的解题思路。

(1)实例①：汽车以60千米／时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，先填写下表，再试着用含I的式子表示s。

实例②：要画一个面积S为10 cm2的圆。圆的半径r应取多少 圆面积为20 cm2呢 怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r
(设计意图：挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情境．让学生经历探索具体情境中两个变量关系的过程，直接获得探索变量关系的体验。)
(2)实例①：用10 cm长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面怎样变化。记录不同的长方形的长度值。计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律。设长方形的长为xcm，面积为S m2．怎样用含x的式子表示s

实例②：如图所示，用火柴棒摆图形，按照这样的规律继续摆下去，第四个图形需要——根火柴棒，第五个图形需要——根火柴棒，第／7,个图形需要——根火柴棒。

(设计意图：通过动手实验，学生的学习积极性被充分调动起来，进一步深刻体会了变量间的关系，学会了运用表格形式来表示实验信息。)
(3)问题①：一辆汽车的油箱中现有汽油50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量Y(单位：L)随行驶里程x(单位：km)的增加而减少，平均耗油量为0．1 L／km。
a：写出表示Y与x的函数关系的式子。
b：指出自变量x的取值范围。
c：汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油
问题②：一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，其速度每秒增加2 m。
a：在这一变化过程中反映了哪两个变量之间的关系 它们之间可建立怎样的函数关系
b：4．5秒时小球的速度为多少
(设计意图：培养学生主动参与、合作交流并能用数学的眼光看待世界的意识，提高观察、分析、概括和抽象等的能力。)
(4)重点：正确理解函数的概念。
(5)难点：函数概念的形成过程。
(6)变量与函数是中学数学中极其重要的内容之一，本节内容对之后一次函数、反比例函数等内容的学习有直接影响。函数这一概念不仅渗透在中学数学教学的许多内容之中，而且它与物理、化学等学科的知识密切相关。其次，它又是一种数学思想，运用函数思想可以更方便、更有效地解决一些数学问题．在学生的数学学习过程中有着重要的意义和作用。