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设向量组（Ⅰ）：α(→)1，α(→)2，…，α(→)r可由向量组（Ⅱ）：β(→)1，β(→)2，…，β(→)s线性表示，

题目
单选题
设向量组（Ⅰ）：α(→)1，α(→)2，…，α(→)r可由向量组（Ⅱ）：β(→)1，β(→)2，…，β(→)s线性表示，则（　　）。
A

r＜s时，向量组（Ⅱ）必线性相关

B

r＞s时，向量组（Ⅱ）必线性相关

C

r＜s时，向量组（Ⅰ）必线性相关

D

r＞s时，向量组（Ⅰ）必线性相关

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第1题：

设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，则

A.当rB.当r>s时，向量组Ⅱ必线性相关
C.当rD.当r>s时，向量组Ⅰ必线性相关

答案：D
解析：

第2题：

单选题
设n维列向量组α1，α2，…，αm（m＜n）线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是（　　）.
A

向量组α1，α2，…，αm可以由β1，β2，…，βm线性表示

B

向量组β1，β2，…，βm可以由α1，α2，…，αm线性表示

C

向量组α1，…，αm与向量组β1，…，βm等价

D

矩阵A=（α1，…，αm）与矩阵B=（β1，…，βm）β）m


正确答案： C
解析：
例如α1=（1，0，0，0），α2=（0，1，0，0），β1=（0，0，1，0），β2=（0，0，0，1），各自都线性无关，但它们之间不能相互线性表示，也就不可能有等价关系，排除A、B、C项；D项，矩阵A与矩阵B等价，则它们的秩相等，故向量组β1，β2，…，βm线性无关．

第3题：

设向量组I：α1，α2，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，βs，线性表示，则(53)。

A．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．

B．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．

C．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关．

D．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关．


正确答案：D
解析：本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：α1，α2，可由向量组Ⅱ；声β1，β2，βs线性表示，则r＞s，当时，向量组Ⅰ必线性相关。或其逆否命题：若向量组I：α1，α2，可由向量组Ⅱ：β1，β2，βs线性表示，且向量组Ⅰ线性无关，则必有rs，。可见正确选项为D。本题也可通过举反例用排除法找到答案。

第4题：

单选题
设向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的秩为r，则（　　）。
A

必定r＜s

B

向量组中任意个数小于r的部分组线性无关

C

向量组中任意r个向量线性无关

D

若s＞r，则向量组中任意r＋l个向量必线性相关


正确答案： A
解析：
A项，r可能与s相等；
B项，若r＜s，向量组中可以有两个向量成比例；
C项，当r小于s/2时，r个向量可能相关；
D项，任意r＋1个向量若不线性相关，则向量组的秩为r＋1，故必相关。

第5题：

单选题
n维向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关的充分条件是（　　）。
A

α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中没有零向量

B

向量组的个数不大于维数，即s≤n

C

α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意两个向量的分量不成比例

D

某向量β(→)可由α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性表示，且表示法唯一


正确答案： D
解析：
A项，例如α(→)1＝（1，－1，2），α(→)2＝（2，－2，4）都是非零向量，但α(→)1，α(→)2线性相关；
B项，如A项中的例子，α(→)1，α(→)2个数小于维数，但其线性相关；
C项，例如α(→)1＝（1，0，－1），α(→)2＝（0，3，0），α(→)3＝（1，3，－1）中任意两个向量的分量均不成比例，但α(→)1，α(→)2，α(→)3线性相关；
D项，β(→)可由α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性表示，且表示法唯一，即α(→)1，α(→)2，…，α(→)s是α(→)1，α(→)2，…，α(→)s，β(→)的线性极大无关组，故α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关。

第6题：

设向量组I：α1α2αr…，可由向量组Ⅱβ1,β2,…βs：线性表示，下列命题正确的是( )。

A.若向量组I线性无关．则r≤S
B.若向量组I线性相关，则r>s
C.若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s
D.若向量组Ⅱ线性相关，则r>s

答案：A
解析：
由于向量组I能由向量组Ⅱ线性表示，所以r(I)≤r(Ⅱ)，即

第7题：

单选题
设向量β(→)可由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)m线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：α(→)1，α(→)2，…，α(→)m－1线性表示。记向量组（Ⅱ）：α(→)1，α(→)2，…，α(→)m－1，β(→)，则（　　）。
A

α(→)m不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示

B

α(→)m不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示

C

α(→)m可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示

D

α(→)m可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示


正确答案： B
解析：
向量β(→)可由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)m线性表示，不能由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)m－1线性表示，则设β(→)＝k1α(→)1＋k2α(→)2＋…＋km－1α(→)m－1＋kmα(→)m，且km≠0，α(→)m＝β(→)/km－k1α(→)1/km－…－km－1α(→)m－1/km，说明α(→)m可由向量组β(→)，α(→)1，α(→)2，…，α(→)m－1，线性表示，不可由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)m－1线性表示。

第8题：

设向量组Ⅰ可由向量组Ⅱ:线性表示,下列命题正确的是( )



A.若向量组Ⅰ线性无关,则r≤s
B.若向量组Ⅰ线性相关,则r大于s
C.若向量组Ⅱ线性无关,则r≤s
D.若向量组Ⅱ线性相关,则r小于s

答案：A
解析：

第9题：

单选题
设向量β可以由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）:α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组（Ⅱ）:α1，α2，…，αm-1，β，则（　　）.
A

αm不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示

B

αm不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示

C

αm可以由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示

D

αm可由（Ⅰ）线性表示，不可由（Ⅱ）线性表示


正确答案： C
解析：
若αm可由向量组（Ⅰ）线性表示，则β也可由向量组（Ⅰ）线性表示，与题设矛盾，故αm不能由（Ⅰ）线性表示；由β可由α1，α2，…，αm线性表示，知存在一组数k1，k2，…，km，使β=k1α1+k2α2+…+kmαm，且km≠0，否则β就能由（Ⅰ）线性表示，所以αm可由向量组（Ⅱ）．

第10题：

问答题
设向量β(→)可由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)r线性表示，但不能由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)r－1线性表示，证明：　　（1）α(→)r不能由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)r－1线性表示；　　（2）α(→)r能由α(→)1，α(→)2，…，α(→)r，β(→)线性表示。

正确答案：
(1)(反证法)
可设α(→)r能由向量组α(→)1,α(→)2,…,α(→)r-1线性表示,即α(→)r=k1α(→)1+k2α(→)2+…+kr-1α(→)r-1。
由向量β(→)可由向量组α(→)1,α(→)2,…,α(→)r线性表示,有β(→)=l1α(→)1+l2α(→)2+…+lr-1α(→)r-1+lrα(→)r。
所以有β(→)=(l1+lrk1)α(→)1+(l2+lrk2)α(→)2+…+(lr-1+lrkr-1)α(→)r-1,即β(→)可由向量组α(→)1,α(→)2,…,α(→)r-1线性表示,这与已知条件相矛盾,故α(→)r不能由向量组α(→)1,α(→)2,…,α(→)r-1线性表示。
(2)由β(→)=l1α(→)1+l2α(→)2+…+lr-1α(→)r-1+lrα(→)r和β不能由向量组α(→)1,α(→)2,…,α(→)r-1线性表示,可知lr≠0,故α(→)r=β(→)/lr-l1α(→)1/lr-l2α(→)2/lr-…-lr-1α(→)r―1/lr,即α(→)r可由向量组α(→)1,α(→)2,…,α(→)r-1线性表示。
解析： 暂无解析

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