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单选题n维向量组，α(→)1，α(→)2，…，α(→)s（3≤s≤n）线性无关的充要条件是（　　）。A 存在一组不全为0的数k1，k2，…，ks，使kα(→)1＋k2α(→)2＋…＋ksα(→)s≠0(→)B α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意两个向量都线性无关C α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中存在一个向量不能由其余向量线性表示D α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任何一个向量都不能由其余向量线性表示

题目
单选题
n维向量组，α(→)1，α(→)2，…，α(→)s（3≤s≤n）线性无关的充要条件是（　　）。
A

存在一组不全为0的数k1，k2，…，ks，使kα(→)1＋k2α(→)2＋…＋ksα(→)s≠0(→)

B

α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意两个向量都线性无关

C

α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中存在一个向量不能由其余向量线性表示

D

α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任何一个向量都不能由其余向量线性表示

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第1题：

设向量组I：α1α2αr…，可由向量组Ⅱβ1,β2,…βs：线性表示，下列命题正确的是( )。

A.若向量组I线性无关．则r≤S
B.若向量组I线性相关，则r>s
C.若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s
D.若向量组Ⅱ线性相关，则r>s

答案：A
解析：
由于向量组I能由向量组Ⅱ线性表示，所以r(I)≤r(Ⅱ)，即

第2题：

单选题
n维向量组，α(→)1，α(→)2，…，α(→)s（3≤s≤n）线性无关的充要条件是（　　）。
A

存在一组不全为0的数k1，k2，…，ks，使kα(→)1＋k2α(→)2＋…＋ksα(→)s≠0(→)

B

α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意两个向量都线性无关

C

α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中存在一个向量不能由其余向量线性表示

D

α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任何一个向量都不能由其余向量线性表示


正确答案： C
解析：
向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可以由其余向量表示，若向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示，则它们必线性无关；反之亦然。

第3题：

向量组α1，α2，…，αm(m≥2)线性相关的充要条件是( )。

A、α1，α2，…，αm中至少有一个零向量
B、α1，α2，…，αm中至少有两个向量成比例
C、存在不全为零的常数k1，k2，…，km，使k1α1+k2α2+…+kmαm=0
D、α1，α2，…，αm中每个向量都能由其余向量线性表示

答案：C
解析：
由向量组线性相关的理论，(A)、(B)、(D)不正确，而(C)是线性相关的定义，也是充分必要条件

第4题：

单选题
3维向量组A：α1，α2，…，αM线性无关的充分必要条件是（）．
A

对任意一组不全为0的数k1，k2，…，kM，都有后

B

向量组A中任意两个向量都线性无关

C

向量组A是正交向量组

D

αM不能由线性表示


正确答案： D
解析： 暂无解析

第5题：

单选题
下列说法不正确的是（　　）.
A

s个n维向量α1，α2，…，αs线性无关，则加入k个n维向量β1，β2，…，βk后的向量组仍然线性无关

B

s个n维向量α1，α2，…，αs线性无关，则每个向量增加k维分量后得到的向量组仍然线性无关

C

s个n维向量α1，α2，…，αs线性相关，则加入k个n维向量β1，β2，…，βk后得到的向量组仍然线性相关.

D

s个n维向量α1，α2，…，αs线性无关，则减少一个向量后得到的向量组仍然线性无关.


正确答案： B
解析：
A项，一个线性无关组加入k个线性相关的向量，新的向量组线性相关；B项，线性无关组的延伸组仍为线性无关组；C项，线性相关组加入k个向量，无论k个向量是否相关，构成的新的向量组必是线性相关的；D项，线性无关组中的任意个组合均是无关的．

第6题：

3维向量组A：α1，α2，…，αM线性无关的充分必要条件是（）．

  • A、对任意一组不全为0的数k1，k2，…，kM，都有后
  • B、向量组A中任意两个向量都线性无关
  • C、向量组A是正交向量组
  • D、αM不能由线性表示

正确答案:A

第7题：

单选题
如果向量b(→)可以由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)3线性表示，则（　　）。
A

存在一组不全为零的数是k1，k2，…ks，使b(→)＝k1α(→)1＋k2α(→)2＋…＋ksα(→)s成立

B

存在一组全为零的数k1，k2，…ks，使b(→)＝k1α(→)1＋k2α(→)2＋…＋ksα(→)s成立

C

存在一组数k1，k2，…ks，使b(→)＝k1α(→)1＋k2α(→)2＋…＋ksα(→)s成立

D

对b的线性表达式唯一


正确答案： C
解析：
向量b(→)可能为零向量也可能为非零向量，故由线性表示的定义可以判定C项正确。

第8题：

3维向量组A：a1，a2，…，am线性无关的充分必要条件是( ).

A.对任意一组不全为0的数k1，k2，…，km，都有k1a1+k2a2+…+kmam≠0
B.向量组A中任意两个向量都线性无关
C.向量组A是正交向量组
D.

答案：A
解析：
B与D是向量组线性无关的必要条件，但不是充分条件.C是向量组线性无关的充分条件，但不是必要条件.A是向量组线性无关定义的正确叙述，即不存在一组不全为零的数k1，k2，…，km，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0.故选A.

第9题：

单选题
向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关的充分条件是（　　）。
A

α(→)1，α(→)2，…，α(→)s均不为零向量

B

α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意两个向量的分量不成比例

C

α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意一个向量均不能由其余s－1个向量线性表示

D

α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中有一部分向量线性无关


正确答案： D
解析：
A项，均不为零的向量未必线性无关；
B项，例如α(→)1＝（1，0，0）T，α(→)2＝（0，1，0）T，α(→)3＝（1，1，0）T，则其中任意两个向量的分量均不成比例，但向量组α(→)1，α(→)2，α(→)3线性相关；
C项，反证法，如果α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性相关，则至少有一个向量可由其余s－1个向量线性表示，与题设矛盾；
D项，向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中部分向量线性无关时，未必全部向量线性无关。

第10题：

单选题
设向量组（Ⅰ）:α1，α2，…，αr可由向量组（Ⅱ）:β1，β2，…，βs线性表示，则（　　）.
A

r＜s时，向量组（Ⅱ）必线性相关

B

r＞s时，向量组（Ⅱ）必线性相关

C

r＜s时，向量组（Ⅰ）必线性相关

D

r＞s时，向量组（Ⅰ）必线性相关


正确答案： B
解析：
设向量组（Ⅰ）的秩为r1，向量组（Ⅱ）的秩为r2，由（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，知r1≤r2．又r2≤s，若r＞s，故r＞s≥r2≥r1，所以向量组（Ⅰ）必线性相关；若r＜s，不能判定向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）的线性相关性．

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